Théorème de sturm exemple : Aristan EPC

Dans un intervalle suffisamment petit entourant un point zéro de, est partout plus grand que zéro ou partout plus petit que zéro. Ce sont les seules valeurs de x où certains signes peuvent changer. La séquence Sturm et le théorème de Sturm sont nommés d`après Jacques Charles François Sturm, qui a découvert le théorème en 1829. Ce processus d`isolement peut être utilisé avec n`importe quelle méthode pour calculer le nombre de racines réelles dans un intervalle. Deux fonctions voisines ne disparaissent pas simultanément à n`importe quel moment de l`intervalle. Désigner par F2 le reste de f (x) divisé par F1 (x) avec le signe opposé et F3 est le reste de F1 (x) divisé par F2 (x) avec signe opposé et ainsi de suite, jusqu`à ce qu`une constante soit arrivée. En subdivisant les intervalles contenant quelques racines, il peut isoler les racines en petits intervalles arbitraires, chacun contenant exactement une racine. La chaîne est interrompue lorsqu`une constante est obtenue. Si le coefficient du polynôme est réel alors les racines complexes sont un ± IB et donc le nombre total de racines complexes sont même. Comme une application spécifique des fonctions Sturm vers la recherche de racines polynomiales, considérez la fonction, tracée ci-dessus, qui a des racines,, et 1. Si un 0 moins le nombre de racines dans le même intervalle tel que Q (a) < 0. Des maths connues. Voici un exemple.

Ainsi, dans cette section, nous nous concentrerons sur les schémas qui peuvent donner toutes les racines du polynôme donné PN (x) = 0 où n est le degré du polynôme. Lors du calcul de la séquence d`origine de Sturm par division euclidienne, il peut arriver que l`on rencontre un polynôme qui a un facteur qui n`est jamais négatif, un tel x 2 {displaystyle x ^ {2}} ou x 2 + 1 {displaystyle x ^ {2} + 1}. La Division synthétique vous aiderait vraiment. Laissez $p (x) $ être le polynôme dans votre numérateur et $q (x) $ être un polynôme Monique dans le dénominateur. J`espère que ça aide. La séquence Sturm d`un polynôme avec des coefficients entiers contient généralement des polynômes dont les coefficients ne sont pas des entiers (voir exemple ci-dessus). Appliqué à l`intervalle de tous les nombres réels, il donne le nombre total de racines réelles de p. Cela génère un algorithme de recherche de racine numérique de précision arbitraire pour les polynômes univariés. Méthodes numériques qui fonctionnent, 2ème impression. Il s`ensuit que, de nos jours, les séquences Sturm sont rarement utilisées pour l`isolement des racines.

Cependant, cela ne garantit pas une seconde racine et dans certaines situations le processus itératif peut même diverger. Ceci est utile pour la recherche de racine, permettant la sélection de la racine à trouver et fournissant un bon point de départ pour les algorithmes numériques rapides tels que la méthode de Newton; Il est également utile pour certifier le résultat, comme si la méthode de Newton converge en dehors de l`intervalle on peut immédiatement déduire qu`il converge vers la mauvaise racine. La dernière condition implique que deux polynômes consécutifs n`ont pas de racine réelle commune. Laisser P (x) et Q (x) être deux polynômes avec des coefficients réels tels que P et Q n`ont pas de racine commune et P n`a pas de racines multiples. Le théorème de Sturm indique que, si P est un polynôme sans carré, le nombre de racines réelles distinctes de P dans l`intervalle semi-ouvert (a, b) est V (a) − V (b) (ici, a et b sont des nombres réels tels qu`un < b). Pour trouver le nombre de racines réelles entre p 0 {displaystyle P_ {0}}, il faut évaluer les séquences des signes de ces polynômes à − ∞ et ∞, qui sont respectivement (+, −, +, +, −) et (+, +, +, −, −). En d`autres termes, p et p`Q sont des polynômes premiers entre eux. Les polynômes Sturm sont très puissants, mais je crains que la partie qui consomme du temps est inévitable. Dans ce cas, si l`on continue le calcul avec le polynôme remplacé par son quotient par le facteur non négatif, on obtient une séquence généralisée de Sturm, qui peut également être utilisée pour calculer le nombre de racines réelles, puisque la preuve du théorème de Sturm s`applique toujours (en raison de la troisième condition).